基本概念

对于微分方程及其边界条件 \[ \left\{ \begin{aligned} \mathcal{L}u &= f,\,\, x \in \Omega\\ \mathcal{B}u &= g,\,\, x \,\text{on}\, \partial \Omega \end{aligned} \right. \] 考虑对应的差分格式 \[ \left\{ \begin{aligned} L v_j^n &= f_j^n,\,\, x_j \in \Omega\\ B v_j^{n} &= g_j^{n},\,\, x_j \,\text{on}\, \partial \Omega \end{aligned} \right. \] 其中 \(L,B\) 分别是 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{B}\) 的近似。

对于双层线性差分格式，我们有时考虑如下的规范形式（\(V^{n}\) 代表 \(\{v_j^n\}\) 组成的网格函数） \[ V^{n+1} = Q\,V^n + \Delta t\,F^n \] 它是实际计算所采用的完整表达式，因此既包括了内部离散，也包括了边界离散。

我们主要考虑当 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 的极限情况。可能需要时空网格参数在网格加密时满足一定的约束，例如 \[ \Delta t = z(\Delta x) \to 0, \text{as} \, \Delta x \to 0 \] 其中 \(z(\cdot)\)是任意在 \(0\) 附近有定义，并且满足 \(z(0)=0\) 的连续函数。如果在某个约束条件（又称为加密路径）下结论成立，那么称其为有条件成立。反之，如果只要求时空网格参数分别趋于\(0\)，不需要指定加密路径，那么称其为无条件成立。

相容性

逐点相容性

对于差分格式 \(L v_j^n = f_j^n\) 与微分方程 \(\mathcal{L} u = f\)， 以及任意光滑函数 \(u(x,t)\)，定义局部截断误差 \[ \tau_j^n = (\mathcal{L} u_j^n - f_j^n) - (L u_j^n - f_j^n) \] 我们称差分格式与微分方程在内部点 \((x_*,t^*)\) 处逐点一致，如果在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 时，成立 \[ \tau_j^n \to 0 \]

我们通常只关注 \(u(x,t)\) 是 \(Lu=f\) 的精确光滑解的情形，此时显然 \(\mathcal{L} u_j^n - f_j^n = 0\)，局部截断误差定义变为 \[ \tau_j^n = L u_j^n - f_j^n \]

如果存在两个不可改善的正整数 \(p,q\)，使得 \[ \tau_j^n = O((\Delta x)^p + (\Delta t)^q) \] 那么称局部截断误差的阶数是 \((p,q)\)。

注意：

  • 两个阶数的顺序并不是固定的，只要上下文记号保持一致即可。
  • 显然如果差分格式具有 \((p,q)\) 局部截断误差阶，并且 \(p,q \ge 1\)，那么格式就是逐点相容的。
  • 这里只讨论了基于 \(\mathcal{L} u = f\) 的内部点近似，基于 \(\mathcal{B}u=g\) 的边界点近似同理。

如果上述结论必须在某个加密路径下成立，则称差分格式有条件逐点相容于方程。例如LF格式的局部截断误差满足 \[ \tau_j^n = O(\Delta t + \frac{\Delta x^2}{\Delta t}) \] 只有在固定网比 \(\lambda = \frac{\Delta t}{\Delta x}\)，即指定加密路径 \(\Delta t = \lambda \Delta x\) 时才有 \(\tau_j^n \to 0\)。在此时有 \(\tau_j^n = O(\Delta t) = O(\Delta x)\) 具有一阶的局部截断误差。

模相容性

我们考虑如下规范形式的（双层）差分方程 \[ V^{n+1} = Q\,V^n + \Delta t\,F^n \] 将满足方程的精确光滑解 \(u(x,t)\) 代入对应的规范形式的差分格式，必然会产生余项 \(\Phi^n\) \[ U^{n+1} = Q\,V^n + \Delta t\,F^n + \Delta t\,\Phi^n \]

如果当 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\) 时，成立 \[ \Vert \Phi^n \Vert \to 0 \] 那么称差分格式无条件的在 \(\Vert\cdot\Vert\) 模意义下相容于方程。

如果存在两个不可改善的正整数 \(p,q\)，使得 \[ \Vert \Phi^n \Vert = O((\Delta x)^p + (\Delta t)^q) \] 那么称差分格式在\(\Vert\cdot\Vert\)模意义下的相容阶是\((p,q)\)。

有的资料采用的模相容定义是在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\) 时，成立 \[ \Delta t \sum_{\ell = 0}^{n-1} \Vert \Phi^\ell \Vert \to 0 \] 两者没什么区别。

注意这里的范数都是针对网格函数而言的，例如对于均匀网格 \[ \Vert A \Vert_2 = \left( \sum_{j \in J} \vert A_j\vert^2 \Delta x\right)^\frac12,\,\, \Vert A \Vert_{\infty} = \max_{j \in J} \vert A_j \vert \]

辨析

逐点相容性和模相容性是两个非常相似，并且有密切联系，但是并不完全等价的概念，我们需要进行专门的辨析。

首先是对于定义的理解：

  • 标量 \(\tau_j^n\) 收敛于 \(0\) 只能体现局部上的逼近效果，即局部相容性；
  • 网格函数 \(\Phi^n\) 的模收敛于 \(0\) 可以体现差分格式整体上的逼近效果，即整体相容性。

如果我们组合使用了不同的离散公式，典型情况是在内部和边界基于不同公式进行离散，那么在两者模板重叠部分的近似效果会受到明显影响，这导致局部和整体的相容性分析可能得到不一样的结论。

然后是逐点相容和最大模相容这两个概念的对比。假设双层格式可以整理为如下形式 \[ P_1 V^{n+1} = P_2 V^n + \Delta t F^n \] 并且 \(L v_j^n = f_j^n\) 对应为下式的某一行（忽略边界条件） \[ \frac{1}{\Delta t} P_1 V^{n+1} - \frac{1}{\Delta t} P_2 V^n = F^n \] 按照逐点相容性分析的要求，局部截断误差 \(\tau_j^n\) 组成的向量为 \[ \tau^n = \frac{1}{\Delta t} P_1 U^{n+1} - \frac{1}{\Delta t} P_2 U^n - F^n \] 按照模相容性分析的要求，我们需要将格式改写为如下规范形式（出于计算可行性要求，\(P_1\) 必然可逆） \[ V^{n+1} = P_1^{-1} P_2 V^n + \Delta t P_1^{-1} F^n \] 代入精确解可以得到 \[ U^{n+1} = P_1^{-1} P_2 U^n + \Delta t P_1^{-1} F^n + \Delta t \,\Phi^n \] 不难发现两者之间存在如下联系 \[ \Phi^n = P_1^{-1} \tau^n \]

如果对 \(P_1^{-1}\) 的算子范数加上一致有界性条件（不受到网格加密的影响） \[ \Vert P_1^{-1}\Vert < M \] 那么显然逐点相容性和最大模相容性是等价的，并且局部截断误差阶和最大模相容阶是相同的。

对于显格式，可以直接取 \(P_1 = I\)，此时一致有界性条件是显然成立的；对于绝大多数的隐格式，一致有界性条件也是成立的。因此我们可以说，在绝大多数情况下，这两者的结论都是一致的。

从理论的角度，我们通常希望格式具有模相容性；但从实践的角度，我们通常验证的都是格式的逐点相容性。

稳定性

初值稳定性

考虑如下规范形式的（双层）差分方程（\(V^{n}\) 代表 \(\{v_j^n\}\) 组成的网格函数） \[ V^{n+1} = Q\,V^n + \Delta t\,F^n \] 取 \(F^n = 0\) 可以得到齐次差分格式 \[ V^{n+1} = Q\,V^n \] 如果在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 时，成立 \[ \Vert V^n \Vert \le K \Vert V^0 \Vert \] 其中界定常数 \(K > 0\) 与网格参数 \(\Delta x,\Delta t\) 无关，与初值 \(V^0\) 无关，那么称（非齐次的）差分格式在 \(\Vert\cdot\Vert\) 模意义下具有初值稳定性。我们允许 \(K\) 与终止时刻 \(T\) 有关，定义可以进一步细分为：

  • 如果 \(K = K(T)\)，称格式在 \(\Vert\cdot\Vert\) 模意义下具有短时间的初值稳定性；
  • 如果 \(K\) 与 \(T\) 无关，称格式在 \(\Vert\cdot\Vert\) 模意义下具有长时间的初值稳定性。

由于 \(V^{n} = Q^n \,V^0\)，易得 \[ \Vert V^{n} \Vert = \Vert Q^n \,V^0 \Vert \le \Vert Q^n \Vert \Vert V^0 \Vert \] 因此稳定性分析的关键是估计 \(\Vert Q^n \Vert\)。

右端项稳定性

考虑如下规范形式的（双层）差分方程（\(V^{n}\) 代表 \(\{v_j^n\}\) 组成的网格函数） \[ V^{n+1} = Q\,V^n + \Delta t\,F^n \] 我们假设初值为零：\(V^0=0\)，如果在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 时，成立 \[ \Vert V^n \Vert \le M \sum_{\ell=0}^{n-1} \Vert Q^\ell \Vert \Delta t \] 其中界定常数 \(M > 0\) 与网格参数 \(\Delta x,\Delta t\) 无关，那么称（非齐次的）差分格式在 \(\Vert\cdot\Vert\) 模意义下具有右端项稳定性。

补充

我们主要关注初值稳定性，不太关注右端项稳定性。有一个平行于线性微分方程Duhamel原理的结论：齐次线性差分格式的初值稳定性可以推出对应的非齐次线性差分格式的右端项稳定性。

收敛性

对于偏微分方程 \(\mathcal{L}u = f\) 对应的差分格式 \(L v_j^n = f_j^n\)， 定义误差网格函数（这里 \(u(x,t)\) 是精确解，\(\{v_j^n\}\) 是数值解） \[ e_j^n = u(x_j,t^n) - v_j^n \] 可以自然地引入逐点收敛和模收敛的概念。

如果在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 时，成立 \[ e_j^n \to 0 \] 那么称差分格式逐点收敛于定解问题。

如果在 \((\Delta x,\Delta t) \to 0\)，\((x_j,t^n) \to (x_*,t^*)\) 时，成立 \[ \Vert e^n \Vert \to 0 \] 那么称差分格式在\(\Vert\cdot\Vert\)模意义下收敛于定解问题。

如果存在两个不可改善的正整数 \(p,q\)，使得 \[ \Vert e^n \Vert = O((\Delta x)^p + (\Delta t)^q) \] 那么称差分格式在\(\Vert\cdot\Vert\)模意义下的误差阶数是\((p,q)\)。

收敛性当然是我们的最终目的，但是相比于相容性和稳定性，对收敛性的直接分析是最困难的。

Lax 等价定理

著名的 Lax 等价定理：对于适定的线性微分方程定解问题，如果线性差分格式是相容的，那么格式的稳定性和收敛性是等价的，并且误差阶不低于相容阶。

Lax 等价定理的充分性证明（稳定性推出收敛性）是较容易的，必要性证明（收敛性推出稳定性）则需要依赖泛函分析中的共鸣定理。