在前文中介绍了泛函语境下的 Lagrange 乘子法，接下来将它应用中不可压流的 Stokes 方程组中。

1. Stokes 方程组

1.1 原始方程组

不可压缩蠕动流满足如下的方程组

\[ \begin{aligned} -\Delta u + \nabla p &= f\\ \nabla \cdot u &= 0\\ u|_{\partial \Omega} &= 0 \end{aligned} \]

其中\(\Omega\)是有界区域，为了后续的讨论，我们定义如下空间

\[ \begin{aligned} V &= [H_0^1(\Omega)]^n \\ Z &= \{v \in V | \nabla \cdot v = 0\}\\ \widetilde{L}^2(\Omega) &= \{q \in L^2(\Omega)| \int_{\Omega} q = 0\} \end{aligned} \]

1.2 虚功原理

将 Stokes 方程组转化为如下的变分形式(物理上也称为虚功原理)：

(A1) find \(u \in Z\) s.t. \[ \begin{align} (\nabla u,\nabla v) &= (f,v) \,\, &\forall v \in Z \end{align} \]

根据空间的不同，也可以写成如下几种形式

(A2) find \(u \in Z, p \in \widetilde{L}^2\) s.t. \[ \begin{align} (\nabla u,\nabla v) - (p, \nabla \cdot v) &= (f,v) \,\, &\forall v \in V \\ \end{align} \]

(A3) find \(u \in V, p \in \widetilde{L}^2\) s.t. \[ \begin{align} (\nabla u,\nabla v) - (p, \nabla \cdot v) &= (f,v) \,\, &\forall v \in V \\ (\nabla \cdot u,q) &= 0 \,\, &\forall q \in \widetilde{L}^2 \end{align} \]

1.3 最小作用量原理

Stokes 方程组也可以写成如下泛函的极小值问题(物理上也称为最小作用量原理)

(B) find \(u \in Z\) s.t. \[ \begin{align} J(u) = \min_{v \in Z} J(v) \end{align} \] where \[ J(v) = \frac12 (\nabla v,\nabla v) - (f,v) \]

2. 等价性证明

本文不证明这两类形式和原始方程组的等价性，而是证明这两类变分形式之间的等价性。 重点关注的是不含有压强的(A1)和(B)，和含有压强的(A2)(A3)之间：压强项如何消失，又如何产生。

2.1 (A2)=(A3)

(A2)和(A3)的等价性是显然的：要么直接限制\(u \in Z \subset V\)满足不可压条件，要么通过检验函数 \(q\)来保证\(u \in V\)仍然满足不可压条件:

\[ (\nabla \cdot u,q) = 0 \,\, \forall q \in \widetilde{L}^2 \]

2.2 (A1)=(B)

这两个形式都不含有压强项，相互的等价性证明也是容易的。

如果\(u\in Z\)满足(A1)的方程

\[ (\nabla u,\nabla v) = (f,v) \,\, \forall v \in Z \]

则任取扰动\(v \in Z\)，\(t>0\)，定义\(g(t)=J(u+t v)\)，关于\(t\)求导，注意到\(v \in Z\)意味着\(\nabla \cdot v=0\)

\[ \begin{aligned} g(t)&=J(u+t v) = \frac12(\nabla u,\nabla u) + t(\nabla u,\nabla v) + t^2 (\nabla v,\nabla v) - (f,u)- t(f,v)\\ &= J(u) + t(\nabla u,\nabla v) + t^2 (\nabla v,\nabla v)- t(f,v)\\ \frac{d g}{d t}|_{t = 0} &= (\nabla u,\nabla v) - (f,v) = 0 \end{aligned} \]

从而\(J(u)\)在\(u\)处至少是一个驻点，容易验证\(J\)是下凸的：

\[ \begin{aligned} &t J(u) + (1-t) J(v) - J(v+(t(u-v)))\\ =& \frac{t}2 (\nabla u,\nabla u)-t(f,u) + \frac{1-t}2 (\nabla v,\nabla v) - (1-t)(f,v)\\ &- \frac12 (\nabla (v+t(u-v)),\nabla (v+t(u-v))) + (f,v+t(u-v))\\ =& \frac{t-t^2}2 (\nabla u,\nabla u) + \frac{(1-t)-(1-t)^2}2 (\nabla v,\nabla v) - (1-t)t(\nabla u,\nabla v)\\ =& \frac{t-t^2}2 \left\{\Vert \nabla u\Vert^2 + \Vert \nabla v\Vert^2 - 2(\nabla u,\nabla v) \right\} \ge 0 \end{aligned} \]

因此\(J\)在\(u\)取到最小值。

反过来如果\(u \in Z\)取到\(J\)的最小值，也应该有

\[ (\nabla u,\nabla v) = (f,v) \,\, \forall v \in Z \]

因此(A1)与(B)等价。

2.3 (A2)=(B)

首先，(A2)=(A3)推出(A1)是显然的，因此(A2)可以推出(B)。

反过来，从(B)推出(A2)就必然要引入压强，也就是压强作为 Lagrange 乘子被引入！

为了应用前文中的 Lagrange 乘子法，我们需要定义相关的算子，并验证它们满足需要的条件。

准备

取 Hilbert 空间\(H=V,M=\widetilde{L}^2\)，定义泛函\(J: H \to R\)

\[ J(v) = \frac12 (\nabla v,\nabla v) - (f,v) \]

显然\(J(u)\)是下凸的泛函，容易验证\(J\)是可微的，并且明确一下\(\nabla J(u) \in H^*\)的具体形式，取\(v \in H\)满足\(\Vert v \Vert = 1\)，\(t \ge 0\)，

\[ \begin{aligned} J(u+tv) &= J(u) + t(\nabla u,\nabla v)+ \frac{t^2}2 (\nabla v,\nabla v) - t(f,v)\\ &= J(u) + (\nabla u, t \nabla v) - (f,t v) + o(t)\\ &= J(u) + \langle \nabla J(u), t \nabla v\rangle + o(t) \end{aligned} \]

因此

\[ \nabla J(v) = (\nabla v, \nabla (\cdot))-(f,\cdot) \in H^* \]

上述记号的含义为: \(\nabla J(v)\)作用到 \(w\in H\)上

\[ \langle \nabla J(v),w\rangle = (\nabla v, \nabla w)-(f,w) \in R \]

然后明确\(T:H=[H_0^1]^n \to M^*\)和\(T^*: M=\widetilde{L}^2 \to H^*\)的定义并验证它们的性质。 定义\(T:H \to M^*\)，对于\(v \in H\)，\(Tv \in M^*\)满足

\[ \langle Tv,q \rangle = (\nabla \cdot v,q), \,\forall q \in M \]

显然我们需要的限制子空间\(Z=Ker\,T\)。 定义\(T^*:M\to H^*\)，对于\(q\in M\)，\(T^* q \in H^*\)满足

\[ \langle T^*q, v\rangle = -(\nabla q,v), \,\forall v \in H \]

验证一下它们确实是共轭的，这里分部积分没有边界项，

\[ \langle Tv,q\rangle = (\nabla \cdot v,q) = -(v,\nabla q) = \langle T^*q,v \rangle \]

\(T^*\)需要满足的条件即 Poincare 不等式：

\[ \Vert T^*q \Vert_{H^{-1}} = \Vert \nabla q \Vert_{H^{-1}} \ge C \Vert q \Vert_{L^2},\, \forall q \in L_0^2 \]

因此满足命题需要的所有条件。

应用 Lagrange 乘子法

基于前文的泛函中的 Lagrange 乘子法的命题，可知最优化问题

\[ J(u) = \min_{v\in Z} J(v) = \min_{v \in Ker\,T} J(v) \]

等价于存在\(u\in H\)，\(p \in M\)，使得

\[ \nabla J(u) = T^* p \]

并且\(p\)如果存在，也是唯一的。这里的最优化问题即(B)。

我们把 \(T^* p = \nabla J(u) \in H^*\) 这个式子具体化：作用到测试函数\(v \in H\)，得到

\[ \begin{aligned} \langle T^* p,v\rangle &= \langle T v,p\rangle = (\nabla\cdot v,p)\\ \langle \nabla J(u),v\rangle &= (\nabla u, \nabla v)-(f,v)\\ \end{aligned} \]

因此有

\[ \begin{aligned} (\nabla u, \nabla v)-(f,v) = \langle \nabla J(u),v\rangle &= \langle T^* p,v\rangle = \langle T v,p\rangle = (\nabla\cdot v,p) \end{aligned} \]

利用 Lagrange 乘子法相关的命题，我们从(B)推出了(A3)

\[ (\nabla u,\nabla v) - (p,\nabla \cdot v) = (f,v) ,\,\forall v \in H=Z \]

得证(A1)、(A2)、(A3)和(B)都是等价的，并且明确了在 Stokes 方程组中\(p\)确实是作为 Lagrange 乘子而存在。