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众所周知，web 前端主要包括 HTML+CSS+JavaScript 三部分组成，其中 HTML 是超文本标记语言，CSS 是层叠样式表，JavaScript 是脚本语言。 以下学习的内容都是静态网页而非动态网页，不涉及服务器数据库之类的知识，目标之一是了解最基本的网页知识，例如可以写出几个简单的静态网页，并且利用 Hexo+Github Pages 部署，目的之二是看懂 Hexo 搭建博客的样式配置等。参考教程：https://developer.mozilla.org HTML 定义了网页的内容 CSS 描述了网页的布局 JavaScript 控制了网页的行为 HTML 1. 元素 一个典型的 html 元素如下： 1<p class="note">content</p> 其中<p>是开始标签，</p>是结束标签，中间的content是元素的内容，class="note"是标签的属性。 上述元素是成对的，包括开始标签和结束标签，元素可以相互嵌套，例如 1<p>My cat is <stron ...

本文是关于并行计算的学习，根据具体的实现方式不同，并行计算主要考虑两类方式： 以 MPI 为代表的多进程，不共享内存，进程之间通过消息传递机制进行通信； 以 OpenMP 为代表的多线程，共享内存； 本文主要针对的是 MPI，使用 C++ 接口。后续还可能有关于 OpenMP 和专门的 C++ 多线程库std::thread的学习。 多进程与多线程 对于系统而言，进程是资源分配的最小单位，直接点击可执行文件一般就会开启一个进程，执行当前的应用程序，分配独立的内存空间供其使用；线程是 CPU 调度的最小单位，线程必须隶属于进程而存在，一个进程默认拥有一个线程，也可以拥有多个线程，线程之间需要共享同一个内存空间。 对于多进程的直观理解，可以类比微信多开；对于多线程的理解，例如一个带 GUI 的科学计算器程序，至少拥有两个线程，其中一个线程处于等待状态，负责接收用户的界面操作信息，给出直观的反馈，另一个线程负责执行耗时的计算，防止计算任务对整个程序的运行造成阻塞。(如果只有一个线程，则执行耗时的计算过程中，图形界面就一直是卡死的状态) 多进程的编程中，关键是如何相互传递消息，因为默认情 ...

SIMPLE 算法全称是压力耦合方程组的半隐式方法(Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations), 作为经典的压力修正算法在 Fluent 等工业软件中被广泛应用。 SIMPLE 算法介绍 考虑无量纲化的二维不可压缩方程组 \[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{u}\\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\ \end{aligned} \] 现在我们已有 \(\mathbf{u}^n\)，希望下一步的\(\mathbf{u}^{n+1},p^{n+1}\)满足 \[ \begin{aligned} \frac{\mathbf{u}^{n+1}-\mathbf{u}^n}{\Delta t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla \math ...

投影法也称为时间分裂法，分步法，按照思路分为两类： 第一类基于 N-S 方程组的半离散格式，基于 Helmholtz 分解定理； 第二类基于 N-S 方程组的全离散格式，采用近似算子分裂/近似矩阵分裂。 下文只包括第一类投影法。 Helmholtz 分解定理 对于任意光滑的向量场\(V\)可以唯一分解为一个无源场\(V^d\)和一个无旋场\(\nabla \phi\) 之和。 \[ V = V^d + \nabla \phi \] 满足\(\nabla \cdot V^d = 0\), 和\(\nabla \times \nabla \phi=0\)。 (这一说法是不严谨的，因为唯一性需要向量场满足一定的边界条件，暂时略过边界的考虑) 投影法简介 考虑无量纲化的二维不可压缩方程组 \[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{u}\\ \na ...

标记网格法(Marker-and-Cell method，MAC)，是一种求解压力 Poisson 方程算法，最初被设计用于求解含自由面的不可压缩流动，下文的算法并不涉及自由面，只是关注对不可压缩条件的处理。 求解压力 Poisson 方程算法 求解压力 Poisson 方程算法是一大类 N-S 方程的求解算法，它的特点是：通过求解一个 Poisson 方程获取压强\(p\)，并且使得速度散度为零间接地得到满足。(张德良，计算流体力学教程) 考虑无量纲化的二维不可压缩方程组 \[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{u}\\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\ \end{aligned} \] 记\(D = \nabla \cdot \mathbf{u}\)，对动量方程求散度，得到 \[ \begin{ali ...

人工压缩性方法(ACM)，主要用于求解不可压缩定常流问题。 人工压缩性方程 考虑无量纲化的二维不可压缩方程组 \[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{u}\\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\ \end{aligned} \] 由于缺少\(\frac{\partial p}{\partial t}\)，难以计算压强，因此引入人工压缩性因子\(\beta >0\)，使得连续性方程替换为人工压缩性方程： \[ \frac{\partial p}{\partial t} + \beta \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 \] 这里的人工压缩性因子\(\beta\) 相当于声速的平方\(c^2\)，也可以从物理的角度进行理解，在\(\beta >0\)时： 当流动在一点处压缩时 ...

通过把原始变量(速度，压强)转化为导出变量(涡量，流函数)的方程组，可以避开处理压强时的困难，称为涡量流函数方法。 涡量和流函数 对于二维的流动，记速度\(\mathbf{u}=(u,v)^T\)，则涡量\(w\)只是一个标量，定义为 \[ w = \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x} \] 对于不可压缩流动，有流函数\(\phi\)，满足： \[ \begin{aligned} u &= \frac{\partial \phi}{\partial y}\\ v &= -\frac{\partial \phi}{\partial x} \end{aligned} \] 有的材料中，流函数定义相比上文都多一个负号，这不影响算法的本质。流函数的存在性其实就直接保证了不可压缩条件的成立： \[ \nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\parti ...

1 N-S 方程 无量纲化的不可压 N-S 方程组如下： \[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{u}\\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\ \end{aligned} \] 下文将不可压 N-S 方程组简写为 INSE。与可压缩流动相比，不可压缩流动有如下特点: INSE 的压强：只出现在动量方程中，从数学上只是起到了一个 Lagrange 乘子的作用，失去了热力学意义； INSE 不含压强的时间导数项 \(p_t\) ，压强\(p\)的显式计算比较困难，往往需要求解一个全局的 Poisson 方程； 从数学上，方程组呈现抛物-椭圆型的特点，而非可压缩情形的双曲型； 从物理意义上，不可压缩条件意味着声速无穷大，在一点的扰动会瞬间传遍整个区域，从而边界的小误差也会造成很大的影响。 对于不可压方程的处理 ...

一些琐碎的小部分，放在最后。 自定义类型 Fortran 90 支持自定义类型，相当于 c 语言的结构体。 12345678910111213141516program main implicit none type :: person integer :: age integer :: height integer :: weight end type person type(person) :: a ! 声明a是一个person类型的变量 ! %用于提取结构体的分量 read(*,*) a%age, a%height, a%weight write(*,*) a%age, a%height, a%weight stopend program main 字符/字符串 在前面的基本数据类型的笔记中，我们特意完全忽略了字符和字符串的部分，只是在 write 语句中使用了字符串常量。 注：Fortran 对于字符串的处理效率比较慢，谨慎使用——数值计算其实也没什么字符串处理的需求。 与 c 语言不同， ...

在前三篇笔记，学习了 Fortran 作为一个编程语言，最基本的内容：变量，输入输出，流程控制和程序结构。接下来是 Fortran 的数组以及基于数组的数值计算，我认为这是 Fortran 语言最有价值的精华部分，因此特意放在了学习笔记靠后的部分，在学习了基本的语法和子程序等之后。注意，Fortran 的字符集不包括中括号[]，因此与 c 语言的风格不同，Fortran 对数组分量的操作全都是使用小括号()的。 因为这部分内容比较重要，不像前几篇对 Fortran 77 的上古语法大部分进行了忽略，这一篇对于 Fortran 77 的语法也进行介绍。 一维数组 最基本的一维数组声明如下 123integer :: nums(10)integer, parameter :: len = 20real :: datas(len) 一维数组的类型可以是 integer, real, complex, logical 四种基本类型，(也可以是字符或者自定义类型，暂时不管)一维数组的长度可以是字面值常量，也可以是声明为 parameter 的整数——和 c 语言一样，数组的长度需要在编译时确定。 ...