LaTeX 数学笔记

整理一下LaTeX关于数学公式/定理与证明以及相关的内容。

AMS宏包

AMS提供了一系列最常用的LaTeX数学宏包：

1. amsmath 宏包：
   • 提供了一套增强的数学排版命令和环境，使得数学公式的编辑和排版更加灵活和方便。
   • 引入了一些新的数学环境，例如 align 和 gather，以便更好地控制多行公式的排版。
   • 提供了诸如 \text, \DeclareMathOperator 等命令，用于在数学模式中插入文本或定义新的运算符。
2. amssymb 宏包：扩展了 amsmath，提供了额外的数学符号，如各种箭头、关系符号、集合符号等。
3. amsfonts 宏包：提供了一些额外的字体，例如 \mathbb 命令用于黑板粗体字母。
4. amsthm 宏包：提供了 theorem, lemma, proof 等定理或证明环境，方便用户在文档中定义和使用定理。

下面的数学公式绝大部分都需要这些宏包，默认已经被导入

\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}

数学公式排版

行内公式直接使用$...$包裹即可，也可以使用\(...\)包裹，不做讨论，下面主要关注的是行间公式。

\(\Tex{}\) 默认的行间公式环境为$$...$$，这也是Markdown支持的行间公式，但是在LaTex中并不推荐使用它，虽然在大多数情况下是没有问题的，但是在某些情况下和\[\]以及其它行间公式环境的表现并不一样。

这里只关注了编号和多行公式的问题，略去了很多数学符号的处理。

基本使用

基本的行间公式环境为equation，例如

\begin{equation}
    a^2 + b^2 = c^2 \label{pythagorean}
\end{equation}

Equation \eqref{pythagorean} is called `Gougu theorem' in Chinese.

公式自动带有编号并在右侧呈现，编号可能形如：1, 2, 3, 也可能形如1.1, 1.2等基于章节的编号， 默认行为取决于当前文档是atricle这类小型文本或book这类大型文本，当然也可以使用命令手动更改

\numberwithin{equation}{section}

可以使用\label{}结合\ref{}或\eqref{}来形成交叉引用，后者是宏包提供的，区别仅仅是自动给编号加了括号。

可以在行尾使用\notag来抑制当前行公式生成编号。可以在行尾使用\tag{xxx}来手动修改编号，例如一个具有特殊意义的文本标记

It's wrong to say
\begin{equation}
    1 + 1 = 3 \notag
\end{equation}
or
\begin{equation}
    1 + 1 = 4 \tag{dumb}
\end{equation}

有时需要使用完全不带编号的公式，可以使用equation*环境，更常见的选择是\[\]，它也提供了不带编号的行间公式环境，它实际上是displaymath环境的等价形式。

\begin{equation*}
    a^2 + b^2 = c^2
\end{equation*}
For short:
\[
    a^2 + b^2 = c^2
\]
Or if you like the long one:
\begin{displaymath}
    a^2 + b^2 = c^2
\end{displaymath}

多行公式

一个常见的使用情景为罗列一组公式，按照中间的等号对齐，常用的环境为align，基于&定位，通常将&放在等号左侧，在多行公式中使用\\换行

\begin{align}
    a & = b + c \\
      & = d + e
\end{align}

默认情形下align环境的每一行都会产生一个编号，可以使用\notag去掉某行的编号，例如出现长公式换行。

有时也可能将&放在等号右侧，因为右侧有长公式需要换行，不能让加号和等号对齐，例如

\begin{align}
    a ={} & b + c \\
      ={} & d + e + f + g + h + i + j + k + l \notag \\
          & + m + n + o \\
      ={} & p + q + r + s
\end{align}

这里的={} &是为了产生更合适的间距。

对于多组公式的对齐，例如两行三列的公式可以如下表示，其中公式之间和等号旁都要加上&

\begin{align}
    a &=1 & b &=2 & c &=3 \\
    d &=-1 & e &=-2 & f &=-5
\end{align}

除了默认的多行公式环境align，还有几个常见的需求以及对应的变体，例如完全不使用编号的环境align*，还有一个情景是多行公式被打包为一个整体进行编号，此时需要使用aligned环境，例如

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        a &= b + c \\
        d &= e + f + g \\
        h + i &= j + k \\
        l + m &= n
    \end{aligned}
\end{equation}

公式细节

• \(\ell\)（\ell）是一个手写体的小写字母，通常用于数学公式中替代l(L小写)来使用，防止与1(数字1)和I(大写i)的混淆。
• 可以使用 \(A^\top\)（A^\top）而非 \(A^T\)（A^T）来表示矩阵转置记号。
• 在本身就是斜体的定理环境的公式环境里，可能\text{xxx}无法起到正体的效果，可以改成使用\mathrm{xxx}。
• 使用\dots而非连续的...，也可以具体指定\ldots，\cdots，\cdots会自动调整显示效果。
• 使用\mid而非直接的|，它提供更合适的间距，例如在集合的定义中使用。
• 对于行内公式，尽量不要包括标点符号，把标点符号放在行内公式的外面；对于行间公式，则需要包括标点符号。
• 使用\times和\cdot表示乘法，不要直接使用x或*。

定理与证明

amsthm宏包提供了定理类和证明类环境，但是并不是开箱即用的，这里记录一下。

定理类环境

基于amsthm包可以创造定理类环境，语法包括如下几类

\newtheorem{name}{text}             % 独自使用计数器
\newtheorem{name}{text}[section-level]    % 基于section层级设置计数器
\newtheorem{name}[counter]{text}    % 共享其它环境的计数器

\newtheorem*{name}{text}            % 不使用计数器

其中

• name：定理类环境的标识符（名称）
• text：显示出的环境名称（引导词）
• 下面两个可选项决定了编号，但是相互冲突，只能使用其一：
  • counter：共享计数器，通常每一个定理类环境都有自己的计数器，但是可以引入其它的定理类环境，表示两者共享计数器
  • section-level：编号计数器依赖于某个章节层次，也可以换成基于定理环境等。

下面的常用环境都可以基于定理环境创建：（按照字体风格进行了分类）

• plain风格
  • 定理 theorem
  • 推论 corollary
  • 引理 lemma
  • 命题 proposition
• definition风格
  • 定义 definition
  • 例子 example
  • 问题 problem
• remark风格
  • 注记 remark（remark*）
  • 笔记 note（note*）

使用时例如

\begin{theorem}
...
\end{theorem}

或者可以加上额外名称，会在引导词后加上括号显示

\begin{theorem}[xxx]
...
\end{theorem}

关于下面三个写法的计数区别

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

首先对于theorem，根据当前section创建子编号。 对于corollary，根据最近一次的theorem创建子编号，例如Theorem 1.1之后的Corollary采用编号1.1.1。 对于lemma，则与theorem共享计数器，例如theorem 1.1之后的Lemma则采用编号1.2。

可以使用 \theoremstyle{style} 命令修改定理环境的样式，内置样式有三种：

• plain（默认样式）：引导词是正体，内容是斜体，通常用于定理/推论/引理/命题等
• definition：引导词和内容都是正体，通常用于定义/条件/示例/问题等
• remark：引导词是斜体，内容是正体，通常用于remark/note/断言/结论等

完整的定义语法如下

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]          % 定理，基于section计数器
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]      % 推论，继承定理的计数器
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}              % 引理，共享定理的计数器
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}  % 命题，共享定理的计数器

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]    % 定义，基于section计数器
\newtheorem{example}{Example}[section]          % 示例，基于section计数器
\newtheorem{problem}{Problem}[section]          % 问题，基于section计数器

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Remark}     % remark，独立计数器
\newtheorem{note}{Note}         % note，独立计数器
\newtheorem*{remark*}{Remark}   % remark*，无编号
\newtheorem*{note*}{Note}       % note*，无编号

证明类环境

amsthm也提供了用于写证明/解答的proof环境，不含有编号，默认样式包括：引导词Proof为斜体，内容是正体，结尾会自动添加证毕的方框符号。 可以直接使用，并不需要手动定义

\begin{proof}
...
\end{proof}

注意proofname默认是proof，但是会被ctex修改为中文的证明，这里改回来

% proof是默认存在的证明环境
% proofname默认是斜体英文proof，但是会被ctex修改为中文证明，这里改回来
\renewcommand{\proofname}{\bf Proof}
\newenvironment{solution}{\begin{proof}[\bf Solution]}{\end{proof}} % 解答

注：这里并没有对证明的引导词采用缩进，可以加入\indent实现。要求中文排版时，上述所有的引导词可以直接替换为相应的中文。

数学字体

下面几个命令是LaTeX默认支持的数学环境中的字体：

• \mathnormal{}：数学环境的默认字体
• \mathrm{}：罗马体
• \mathit{}：意大利体（italic），通常是斜体
• \mathbf{}：粗体（bold），通常是直立的粗体
• \mathsf{}：无衬线体
• \mathtt{}：打字机体
• \mathcal{}：手写体（花体），注意默认情形仅支持大写英文字母，某些大写希腊字母不支持
• \mathbb{}：（需要amssymb宏包或amsfonts）黑板粗体（blackboard bold），注意仅支持大写字母

\mathnormal{}是数学环境的默认字体，与正文中相比，字母之间的间距更大一些，其它几个字体的间距则于正文基本一致（但没有连字），例如 $xyz$ 和 $\mathit{xyz}$ 的间距不同。

默认的\mathbf{}命令提供的是加粗直立的大写字母，还可以使用bm宏包提供的\bm{}命令来获得加粗的斜体字母。

英文字母

英文大小写字母的常见字体效果如图

\mathcal{} 是 LaTeX 直接提供的花体命令，而 mathrsfs 宏包提供了一套略微不同的花体，使用\mathscr{}命令即可，它提供的花体更花哨复杂一些。

除此之外，还有一种可读性最差的哥特体（mathfrak），并不需要额外的宏包，直接使用\mathfrak{}命令即可

希腊字母

LaTeX对希腊字母的默认支持特别奇怪，有的字母有大小写，有的字母只有小写，有的甚至完全不支持（omicron）, 有的还有var开头的变体，如下表。希腊字母通常不会使用花体之类的变形。如果使用额外的字体宏包，则可能支持的范围更大一些。

omicron在LaTeX中没有对应的符号\omicron，可能是因为它的大小写和英文字母Oo完全一样。

自定义命令

在这里补充几个便于快速排版数学公式的命令。

使用\(\text{Re}\)和\(\text{Im}\)替换默认的实部虚部符号\(\Re\)和\(\Im\)

% 定义自定义实部和虚部命令，并替换默认的字体
\DeclareMathOperator{\myRe}{\text{Re}}
\DeclareMathOperator{\myIm}{\text{Im}}
\let\Re\myRe
\let\Im\myIm

快速定义和使用矩阵集合

\NewDocumentCommand{\mat}{>{\SplitArgument{1}{,}}m}{\mataux#1}
\NewDocumentCommand{\mataux}{mm}{\mathbb{R}^{#1 \times #2}}